4.曲率张量及其性质
曲率张量
\(w_c,w_c'\)是流形上的两个不同的矢量场，矢量场在p点取值相同，可以证明：
\((\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)w_c|_p = (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)w_c'|_p\)
\(\Omega_c = w_c -w_c’\)
$(_a _b - _b _a)_c $
\(= (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)(\Omega_\mu (dx^\mu)_c)\)
\(= \Omega_\mu (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)(dx^\mu)_c\)
\((\Omega_\mu (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)(dx^\mu)_c)|_p = 0\)
第三行到第四行是因为 \((\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)(fw_c)= f(\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)w_c\)，由无挠性和莱布尼兹率易证得。
同样的，\(\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a\) 对应于一个\((1,3)\)型张量。于是定义该张量为黎曼曲率张量：
定义\(R_{abc}^{~~~~~d}\): \(R_{abc}^{~~~~~d}w_d = (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a )w_d\)，由张量面面观可知，\(R_{abc}^{~~~~~d}\)确实是一个张量
同理根据定义易得：$(_a _b - _b a)v^d = -R{abd}{~~~~~c}vd $
黎曼曲率张量的性质：
$R_{abc}^{~~~~
d} = -R_{bac}^{~~~~d} $\(R_{[abc]}^{~~~~~~~~d} = 0\)
证明：由 \(R_{[abc]}^{~~~~~~~~d} w_d = \nabla_{[a} \nabla_b w_{c]}- \nabla_{[b} \nabla_a w_{c]} = 2\nabla_{[a} \nabla_b w_{c]}\)，等号来自于反对称的定义式，再由\(\nabla_a w_b = \partial_a w_b -\Gamma_{ab}^{c}w_c\) 以及更高阶的作用法则：
$R_{[abc]}^{~~~~~~~~d}w_d = {[a}bw{c]}- ^e{[bc}_{a]} w_{e} -w_{e}{[a}^e_{bc]} -d_{[ab}{|d|} w{c]}-d{[ab}_{d]} w_{c} $
由克氏符的下标对称性以及异种括号相互包含等于0的结论，以及普通导数算符的定义，得到上式每项都等于0。竖线表示反称不包括竖线内的东西
\(\nabla_{[a}R_{bc]d}^{~~~~~~~e} = 0\)
\(R_{abcd} = -R_{abdc}\)
\(R_{abcd}=R_{cdab}\)
证明：\(0= (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)g_{cd} = R_{abc}^{~~~~~~e}g_{ed}+ R_{abd}^{~~~~~~~e}g_{ce} = 2R_{abc}^{~~~~~~e}g_{ed}\)
第一个等式来源于导数算符和度规的适应性规定，第二个来源于 \([\nabla_a,\nabla_b]\) 作用于张量的规则，第三个来源于\(g\)的对称性。
GR 常用的相关张量
里奇张量：定义为\(R_{abc}^{~~~~~~b} = R_{ac}\)，可借助度规求解，定义不需要度规
标量曲率：定义为\(g^{ac}R_{ac} = R\)，必须得有度规才能定义
外尔张量：（略，好长，用到再说）
爱因斯坦张量：\(G_{ab} = R_{ab} -\frac{1}{2}R g_{ab}\)
度规与曲率张量关系：
\(R_{abc}^{\quad d} = -2\partial_{[a}\Gamma^d_{\enspace b]c}+2\Gamma^e_{c[a}\Gamma^d_{\enspace b]e}\)
证明：\(R_{abc}^{\quad d}w_d = \nabla_a \nabla_bw_c - \nabla_b \nabla_aw_c = 2\nabla_{[a} \nabla_{b]}w_c\)
将求导算符变换为普通导数算符和克氏符后，写为：
\(=2(\partial_{[a}\partial_{b]}w_{c}- \partial_{[a}(\Gamma^d_{b]c} w_{d}) -\Gamma^d_{[ab]}\partial_{d} w_{c}+\Gamma^d_{[ab]}\Gamma^e_{dc}w_{e}-\Gamma^d_{[a|c|}\partial_{b]} w_{d}+\Gamma^d_{[a|c|}\Gamma^e_{b]d}w_{e})\)
第一项等于由普通导数算符的定义为0，第三四项由克氏符的定义等于0，把第二项和第五项合并，第六项的\(d,e\)可交换，最后得到待证表达式