1. 微分流形定义
微分流形
拓扑空间\((M,\mathscr{F})\)被称为 \(n\) 维微分流形，假如存在开覆盖\(\{O_\alpha\}\), 即\(M = \bigcup_{\alpha}{O_\alpha}\)，且开覆盖满足
\(O_\alpha\)与 \(V_\alpha\) 同胚，\(V_\alpha\) 是\((R^n,\mathscr{F}_u)\)的子集
如果\(O_\alpha \cap O_\beta \ne \varnothing\), 则 \(\phi_\alpha \cdot\phi^{-1}_\beta\)是光滑(无限可微)的，\(\phi_i\)是对应的1中的同胚映射
称\(O_\alpha\)与\(\phi_\alpha\)构成了一个局域的坐标系（coordinate system)，\(O_\alpha\)称为坐标域，\(\forall p \in O_\alpha,\)称\(\phi_\alpha (p) =(x_1,x_2,...x_n)\)为\(p\)的坐标。在\(O_\alpha \cap O_\beta\)处，能够有局域的坐标变换。
以\(R^2\)为例，取图册\(\{O_1 = R^2,O_2 = (R^2-\{line(y =0,x>0)\})\}\)，能够得到坐标系 \(\phi_1(p) = p,V_1 = R ^2\)，\(\phi_2 (p(x_1,x_2))= (arctan(x_2/x_1),\sqrt{x_2^2+x_1^2})\)， \(V_2 = \{(\theta,r)|0< \theta <2\pi \in R,0< r \in R\}\)
流形间的映射
流形\(M\)到流形\(M'\)之间的映射\(f\), \(\forall p \in M,f(p) \in O_\beta, p \in O_\alpha, \phi_\beta\cdot f\cdot\phi_\alpha^{-1}\)是\(C^r\)类的，映射\(f\)被称为 \(C^r\) 类映射，映射 \(\phi_\beta \cdot f\cdot\phi_\alpha^{-1}\) 是 \(C^\infty\) 的，且 \(f\) 是双射，则\(M,M'\)称为微分同胚。当 \(M'\) 为 \(R\) 时，称\(f\)为定义在\(M\)上的标量场。
矢量与矢量场
\(\mathscr{F}_M\)是流形\(M\)的标量场\(f:M \rightarrow R\) 的集合，映射\(v: \mathscr{F}_M \rightarrow R\)，称为流形\(M\) 上的某一点\(p\)的一个矢量, ,如果\(v\)满足：
\(v(af+bg)= av(f) +bv(g)\)
\(v(fg) = f|_pv(g)+g|_pv(f)\)
\(note~def:(fg)(p)= f(p)g(p)\)
巧合的是某一点的所有\(v\)构成的集合构成了一个有限维线性空间，basis: \(X_\mu = \frac{\partial F}{\partial x^\mu}|_p\), 其中\(F\)是映射\(f\)与坐标结合的函数，\(V\) 的维度与流形的维度（定义为流形映射的\(R^n\)空间的维度）相同，\(\forall v \in V, v = \sum_\mu v^\mu X_\mu\),
假设p为两个图册的交集，则p的矢量有两组基\(\{X_\mu\},\{X_\mu'\}\)，转换法则为\(X_\mu =\sum_v \frac{\partial x'^v}{\partial x^\mu}|_p X_v'\), 则
\(v = v^\mu X_\mu = v^\mu \sum_i \frac{\partial x'^i}{\partial x^\mu}|_p X_i'\)
\(\therefore v'^i = \sum_{\mu}{\frac{\partial x'^i}{\partial x^\mu}|_p v^\mu}\)
\(A\)是\(M\)的子集，def a map \(V\) that \(\forall p \in A, V(p) = v|_p\)称为一个矢量场。
曲线与切矢：
称曲线映射 \(C:U \rightarrow M\) 为一条曲线，其中 \(U\) 是 \(R\) 的区间。取 \(U =\) span\(\{x^\mu\}\) 时, 对应的映射叫坐标线。 曲线\(C\)在参数取\(t_0\)时对应的点的切矢\(T\)定义为： \[ T(f) = \frac{d (f\cdot C)}{d t}|_{t_0} \] \(f\)是标量场。denoted with \(\partial /\partial t\)，若是坐标线，可证明\(\partial/\partial x^\mu = X_\mu\)，\(T\)的展开系数： \[ T = \frac{dx^\mu(t)}{dt} X_\mu \]
积分曲线
\(V\)是\(M\)上的矢量场，则曲线\(C(t)\)被称为积分曲线当\(C(t)\)的任意一点的切矢等于\(v|_p\)。以某点\(p\)为起点的积分曲线唯一（可延拓，局部唯一）。