2.对偶矢量，张量及抽象指标
对偶矢量场
任意一点 \(p \in M\), 存在一个流形矢量空间，在该流形矢量空间的对偶空间里找到一个对偶矢量\(v^*\), 每一点选出来的对偶矢量构成的场称为对偶矢量场，基矢记作\(\{e^{*i}\}\)。
\(f\) 是 \(M\) 上的标量场，则定义 \(df\) 对偶矢量场： \[ d f|_p (v) = v(f) \] \(dfg|_p(v) = v(fg)|_p = g(p)v(f)|_p+v(g)|_pf(p)=g(p)df+f(p)dg\)
\(dx^\mu(\partial /\partial x^\mu) = \partial /\partial x^\mu (x^\mu) = \partial x^\mu /\partial x^\mu = 1 \Rightarrow dx^\mu\) is a set of basis of dual map on \(P\).
张量场
一个\((k,l)\)型的张量场定义为一个映射：
在张量之间定义计算张量积：
\[\begin{aligned} &T \otimes T' (w_1,w_2,..w_{h},v_1,v_2,...v_{h}) \\\\&=T(w_1,w_2,...w_m,v_1,v_2..)T'(w_{m+1},w_{m+2}...v_{n+1},v_{n+2}...) \end{aligned}\]易证\(e_i \otimes e_j..\otimes e^{k*} \otimes e^{h*}...\)是张量的基底，
展开系数：
缩并运算定义：
\(C_j^iT = T (.,.,.,...,e^{\mu*}(ith),...e_{\mu}(jth))\), 很多作用可以证明比如\(v(w)\) 可以用缩并的形式来写 \(C_1^1(v\otimes w)\)
在微分流形上，\((k,l)\)型的度规张量在某点的基矢量及展开根据定义为：(以\((2,1)\)型为例) \[ T = T^{ij}_{\enspace k}\frac{\partial }{\partial x^i}\otimes \frac{\partial }{\partial x^j} \otimes dx^k \]
度规张量场
度规是一个\((2,0)\)型张量场，并且\(g(v,u)=g(u,v)\)(对称性), \(\forall v \in V, g(v,u)=0 \Rightarrow u =0\)（非退化），长度推广为\(\sqrt{|g(v,v)|}\)，相应引出正交归一等概念， 正交\(g(v,u)=0\)
假设有限维线性空间 \(V\) 的正交归一基为\(\{e_i\}\)，则称 \(\forall i ,g(e_i,e_i) = 1\) 的空间是正定的，黎曼的，只有一个为\(-1\)的叫做洛伦兹的。
推广到流形上，自然出度规张量场，由于广义相对论的使用条件的限制，只研究号差处处一致的度规张量场，定义某条曲线的线长为\(\int \sqrt{|g(v,v)|}dt\), \(v\)为曲线在\(C(t)\)处的像点的切矢，同时我们也只研究\(g(v,v)\)始终同号的曲线，异号的不适用于这个定义，引入记号 \(ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu(t)dx^\nu(t),g_{\mu\nu} = g(\partial /\partial x^\mu,\partial /\partial x^\nu)\), 此处的 \(dx^i\) 理解成微分。
抽象指标
定义
\(a, b, c...\) 为抽象指标，\(i,j,k,\mu,\nu,\sigma...\)为具体指标，抽象指标不同的两个张量写一起表示张量积,\(T_{ab}T'^{c}=T \otimes T'\)，相同的两个放一起代表先积后并\(T_{ab}e^a = C^1_1(T\otimes e)\)。
\[ T_a^{\; bc} = T^{\; ij}_k (e^k)_a(e_i)^b(e_j)^c \]
为张量\(T\)的展开式，而具体的展开系数\(T^{\; ij}_k\):
\[ T_k^{ \; ij} = T^{\; ab}_c (e_k)^c(e^i)_a(e^j)_b \]
恒等映射
\(\delta_a^{\; \; b}\): \(\delta_a^{\; \; b}v^a =v^b, \delta_a^{\; \; b}w_b =w_a\)，且恒等映射的展开分量：
度规的抽象指标
由于度规是矢量空间和对偶空间的同构映射，所以定义\(v_a = g_{ab}v^{b}\), 度规实现了将一个矢量\(v^a\)降指标的功能，同时在物理中对偶矢量与矢量表征同一个物理量，不加以区分，同理因为\(g_{ab}\)是同构映射（张量面面观），所以存在逆映射 \(g^{-1}\)。
\(g^{-1}g_{ab}v^a = \delta^c_{\; a}v^a = v^{c} \Rightarrow g^{-1}g_{ab} = \delta^c_{\; a}\Rightarrow g^{-1}\)是一个\((2,0)\)型张量，一般记作 \(g^{ab}\)
\(g^{ab}w_b = v^a \Rightarrow g_{ca}g^{ab}w_b = g_{ca}v^a\Rightarrow w_c = v_c\), 将 \(g^{ab}w_b\) 记作 \(w^a\) 通过前式我们可以看出 \(w_c\) 与 \(v_c\) 的自然同构关系。
在微分几何结构中：