7.超曲面

定义

当一个流形\(S\)，通过一个单射的无穷阶可导的映射\(\phi\)映射到流形\(M\)上，\(dimS \le dim M\)，且该映射\(\phi\)的推前映射非退化（\(\phi_* v^a = 0\Rightarrow v^a = 0\)）,则称\(\phi[S]\)是一个嵌入子流形，如果\(dim(S) = dim(M)-1\)，则称为超曲面。

超曲面上的矢量：

theorem1:

超曲面某点p上的所有经过该点并且所有像点都在超曲面上的曲线的切矢构成了一个线性空间。

证明：

\(\phi[S]\)是可以定义其上的拓扑为诱导拓扑(见选读正则嵌入，默认是正则嵌入)，由于\(\phi\)是一个\(C^\infty\)的单射，可以认为它是\(S\)和\(\phi[S]\)上的双射，由\(S\)上的图册\(O_i\)及对应的坐标映射\(\phi_i\)，可得到\(\phi[S]\)上存在对应的图册\(\phi[S]\)以及对应的映射\(\phi_i \cdot \phi^{-1}\)，所以\(\phi[S]\)是个微分流形并且与\(S\)微分同胚，则该流形的切空间\(W\)构成矢量空间。

法余矢

超曲面\(\phi[S]\)上的一点\(p\)，作为\(M\)的一点，有对应的切空间\(W\)，同时作为\(\phi[S]\)的一点，也有自己对应的切空间\(W'\)，由\(\phi_*\)将\(S\)上的\(\phi^{-1}p\)的切矢量映射到\(p\)上构成了一个线性空间是\(W\)的子空间，如果是限制\(\phi\)映射到\(\phi[S]\)上的话，则被限制的\(\phi_*\)的值域为\(W'\)，\(\phi_*\)的值域和\(W'\)有很自然的同构关系，之后将用\(W'\)来指代\(\phi_*\)的值域，所以由线性代数可以在M上找出\(v_n\)使得成为\(W\)上的基且与\(W'\)线性无关，则将这个矢量对应的对偶向量称为法余矢。显然法余矢作用于\(w^a \in W'\)为0。

theorem2:

假设标量场在超曲面上取值为常数，且在q点处\(\nabla_a f \ne 0\), 则\(\nabla_a f\)是\(q\)的法余矢。

\(v^a \in W', v(f) = 0 = v^a \nabla_a f\)

第一式来源于超曲面其上的矢量的定义，第二个来源于导数算符对矢量作用的改写，最后的式子表示\(\nabla_a f\)映射所有\(W'\)内的向量等于0，根据对偶矢量的定义且$_a f $可知该对偶矢量满足法余矢的定义。

法矢

对法余矢用度规升成的矢量称为法矢，法矢在\(W'\)中的条件：\(g^{ab}n_an_b = 0\)，不证了捏

诱导度规和投影映射

令超曲面上的张量场\(h_{ab}\)为度规，当\(h_{ab} w^aw^b = g_{ab}w^aw^b\)，一般令诱导度规写为\(h_{ab} = g_{ab} \mp n_an_b\)，正负号取决于\(n^an_a\)的符号，\(n^an_a =1\)时取负号，\(n^an_a = -1\)时取正号，容易验证满足前面的定义。令投影算符表示为

\[ h^a_{\enspace b} = g^{ac}h_{cb}= \delta^{a}_{\enspace b} \mp n^an_c \]

容易验证投影某个矢量场\(v^a = h^a_{\enspace b} v^b \pm n^a (n_bv^b)\)，后面是\(n^a\)的分量，而前半部分与\(n^a\)缩并为0。