内积空间

定义：

在线性空间的基础上定义了内积运算的空间，内积运算需满足以下性质：

\[\begin{aligned} &\left<u,u \right> \ge 0 \\\\&\left<u_1+u_2,v \right> = \left<u_1,v \right> + \left<u_2,v \right> \\\\&\left<\lambda u,v \right> = \lambda \left<u,v \right> \\\\&\left<u,v \right>^* = \left<v,u \right> \\\\&if \enspace \left<u,u \right> = 0 \Rightarrow u = 0 \end{aligned}\]

我认为可以看作是一类度规的定义

由定义轻易有：

\[\begin{aligned} &\left<u,v_1 + v_2 \right>=\left<u,v_1\right>+\left<u,v_2\right> \\\\&\left<u,0\right> = \left<0,v\right> = 0 \end{aligned}\]

范数（norm）

定义为\(\sqrt{\left<v,v \right>}\), 记作\(||v||\)

properties:

1. \(||v|| =0 \Rightarrow v = 0\)
2. \(||\lambda v|| = |\lambda|\enspace ||v||\)

正交：

定义为$<u,v > =0 $，则称 \(u\)，\(v\) 正交

Pythagorean Theorem：如果 \(u\)，\(v\) 正交，则\(||v+u||^2 = ||v||^2 +||u||^2\)

Cauchy–Schwarz Inequality：

\(|\left<v,u \right>| \le ||u||\enspace ||v||\)

分解：易证得如果 \(v \ne 0\)，任意一个向量\(u\)都可以表示为：\(u = \frac{\left<u,v \right>}{||v||^2}v+ w\)，其中\(w = u - \frac{\left<u,v\right>}{||v||^2}v\)，\(w\)与\(v\)正交

\[\begin{aligned} & (||u||\enspace ||v||)^2 = \left<u,u \right>\left<v,v \right> \\\\& = \left<cv+w,cv+w \right>\left<v,v \right> \\\\& = (c^2\left<v,v \right>+\left<w,w \right>)\left<v,v \right> \\\\& \ge c^2\left<v,v \right>^2 \\\\& = \left<u,v \right>^2 \end{aligned}\]

三角不等式

\[ ||u+v||\le ||u||+||v|| \]

prove:

\[\begin{aligned} &\left<u+v,u+v\right> = ||u||^2+||v||^2+2Re(\left<u,v\right>) \\\\& \le ||u||^2+||v||^2+2|\left<u,v\right>| \\\\& \le ||u||^2+||v||^2+2||u||\enspace ||v|| \\\\& \le (||u||+||v||)^2 \end{aligned}\]

第二行是因为复数的模长大于等于实部长度，第三行有柯西施瓦兹不等式。

Parallelogram Equality

\(||u+v||^2 + ||u-v||^2 =2 (||u||^2+||v||^2)\) 易证

习题

6.A.3

问题的关键点在于证明数域是实数域的时候，由存在某个矢量的范数大于0以及内积的其他性质可推得所有矢量的模的正定性。

假设\(v\)与自己的内积大于0，\(u\)与自己的内积小于0，则设矢量：\(w_t = v+(1-t)(u-t)\)

设\(f(t) = \left<w_t,w_t\right> = (1-t)^2 \left<v,v\right>+t^2\left<u,u\right>\)，再由实连续函数的介值定理，存在一个t_0属于\([0,1]\)，st,\(f(t_0) = 0\)

\(v_{t_0}\)与自己的内积等于0，可知\(v_{t_0}=0\)，所以\(v\) 与\(u\)共线，所以矛盾，证毕

6.A.9

显然不等式左右两边都大于0，将待求不等式左右两边同时平方得：

\[ ||u||^2 +||v||^2 -||u||^2\enspace ||v||^2 \ge 2|\left<u,v\right>|- |\left<u,v\right>|^2 \]

同时对左边进行缩放：

\(lms \ge 2||u||\enspace ||v|| - (||u||\enspace ||v||)^2\)

令f(x) = \(2x -x^2\)，则 \(lms \ge f(||u||\enspace ||v||),rms = f(|\left<u,v\right>|)\)，由\(f(x)\)在\([0,1]\)的变化趋势以及\(||u||\enspace ||v|| \ge |\left<u,v\right>|\)可知，\(lms\ge f(||u||\enspace ||v||) \ge f(|\left<u,v\right>|)=rms\)，证毕

6.A.12

由\(R^n\)欧式内积空间上的\((x_1,x_2,...x_n)\)与\((1,1,1,..,1)\)的Cauchy–Schwarz不等式易证得。

6.A.18

由三角不等式有：

\(((x_1+x_2)^p+(y_1+y_2)^p)^{\frac{1}{p}}\le (x_1^p+y_1^p)^{\frac{1}{p}}+(x_2^p+y_2^p)^{\frac{1}{p}}\)

取点\((x_1,y_1)=(1,-1),(x_2,y_2)=(1,1)\)，得到不等式：

\[ 4< (1+(-1)^p){\frac{1}{p}} \]