WKB近似

经典允许区与经典禁区的解

假设经典允许区解的形式为$\phi (x)=A(x)e^{is(x)/\hslash }$，$A$随$x$是缓变的，带入薛定谔方程中得到：

$$i\hslash s^{″}(x)-[s^{\prime }(x){]}^2=2m[V(x)-E]$$

将s(x)以$\hslash$的阶数展开：$s(x)=s_0(x)+\hslash s_1(x)...$带入方程解出一阶近似：

$$\phi (x)\approx \frac{A^{\prime }}{\sqrt{p(x)}}{e}^{\pm i{\int }^{x}p(x^{\prime })d{x}^{\prime }/\hslash }$$

其中$p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$

同理经典禁区的解：

$$\phi (x)\approx \frac{B^{\prime }}{\sqrt{q(x)}}{e}^{\pm {\int }^{x}q(x^{\prime })d{x}^{\prime }/\hslash }$$

其中$q(x)=\sqrt{2m(V(x)-E)}$

连接区的公式

在经典禁区与经典允许区附近WKB近似无效，所以采用直接求解的方法，同时在$x\to x_0+\mathrm{\Delta },x\to x_0-\mathrm{\Delta }$时，与wkb近似出来的解趋于一致。

$$，用线性势近似后，得到airy方程：

$$

其中$$，其解可参考网页，其通解为$$，根据其渐进行为：可以得到$$，同时$$，$$为允许区的常数

全局的解