自由电子气
经典理论
自由电子近似：电子与离子实之间没有相互作用，电子可以自由地在晶格空间中运动。
独立电子近似：电子与电子之间没有相互作用，电子可以彼此独立地运动。
驰豫时间近似：存在驰豫时间，它表示两次碰撞之间的时间间隔；电子通过碰撞与周围环境达到热平衡。
经典的关于热容和电阻的结论：
\[\begin{aligned} &\sigma = \frac{ne^2\tau}{m} \\\\&C_e = \frac{3}{2}n k_B \end{aligned}\]量子理论
凝胶模型：认为势场是平均的, \(V_r = Const\), 极弱束缚的一种描述，\(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\), 根据箱量子化得到，箱边长为L，体积为V：
\[\begin{aligned} &\phi(r) = \frac{1}{\sqrt{V}}e^{ik\cdot r} \\\\&k =(n_x,n_y,n_z) 2\pi/L ~~~n_1,n_2,n_3= 0,\pm1,\pm2... \end{aligned}\]则在k空间中，\((\frac{2\pi}{L})^3\)的体积内有一个k点，\(\rho(k) = \frac{V}{8\pi^3}\)，则能态密度：
\[\begin{aligned} &g(E)dE = s\rho(k)\Delta k =s\frac{4\pi k^2dk}{(8\pi^3/V)} \Rightarrow \\\\&g(E) = \frac{V}{2\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^{\frac{3}{2}} \sqrt{E} \end{aligned}\]s=2 用于记两种自旋
巨正则系综的狄拉克分布： \[\begin{aligned} &f(k) = \frac{1}{e^{(E_k-\mu)/K_BT}+1} \\\\&T \rightarrow 0, E_k<\mu, f(k) = 1, E_k>\mu, f(k) = 0 \end{aligned}\]由此出发，再结合态密度函数可以直接推导晶体电子热容，兼并压等物理学量。温度为0时的化学势称为费米能级，同时\(\frac{\hbar^2 k^2}{2m} =E_F\)，对应的\(k_F\)称为费米波矢，费米波矢在k空间形成的圆面被称为费米面。在温度趋近于0时，费米面以下全被占据，以上全空。
电子热容： \(C_e = \frac{\pi^2}{2}\frac{nk_B^2}{E_F}T\)
习题
1.导出一维二维和三维的自由电子气的能态密度\(g(E)\)
以二维为例，方面的体积为\(S\)，边长为\(L\)，则箱量子化后:
\(E(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \vec k = (n_1,n_2)\frac{2\pi}{L}\)
则能态密度：
\(g(E)dE = s \rho(k) \Delta V_E = s * \frac{S}{4\pi^2} *2\pi k dk\)
则：\(g(E) = \frac{dk}{dE}s \frac{S}{4\pi^2} 2\pi k = \frac{S m}{\pi \hbar^2}\)
- 证明二维自由电子气的化学势为：\(\mu(T) = k_B T ln(e^{\pi \hbar^2n/(mk_BT)}-1)\) n为单位面积上的电子数
由上题可得到\(g(E) = \frac{S m}{\pi \hbar^2} = \frac{N m}{n \pi \hbar^2}\)，\(N\)为粒子总数
由费米狄拉克分布：
\[\begin{aligned} N = \int_0^\infty \frac{1}{e^{E-\mu}+1} g(E)dE \end{aligned}\]将积分化简后即可得到题干