二次量子化和场算符
一次量子化下的多体波函数表示
假设在某个空间中，存在N个粒子，则整个系统的哈密顿量写为:
\[ \hat{H} = \sum_{i=1}^N T(x_i) +\frac{1}{2} \sum_{k\ne l=1}^{N} V(x_k,x_l) \]
其中\(x_i\)是用于表征第\(i\)粒子的状态所用的坐标，它可以是实空间的坐标，也可以是自旋等离散的坐标，也可以是两者的组合等等。
假设每个粒子都存在完全力学量集\(\{E_k\}\)， 表示第k个单体的本征能级 \(\{\epsilon_{E_k = e1},\epsilon_{E_k = e2}...\}\) 和本征态 \(\{\psi_{E_k=e1}(x_k),\psi_{E_k = e2}(x_k)...\}\)，则此系统所对应的波函数 \(\psi(x_1,x_2,...x_n,t)\):
\[\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{E_1,E_2,E_3,...E_N} C(E_1,E_2,...E_N,t) \psi_{E_1}(x_1) \psi_{E_2}(x_2)...\psi_{E_N}(x_n) \end{aligned} \end{equation}\]
求和号表示，对所有可能的本征态组合求和。
薛定谔方程
对于任意的波函数，想求其分量\(C(E_1,E_2,...E_N,t)\)，可以用\(\left<\psi_{E_1}(x_1) \psi_{E_2}(x_2)...\psi_{E_N}(x_n) |\psi\right>\)的方法来求，求其随时演化的可以将\(\left|\psi \right>\) 带入薛定谔方程并且左积\(\left<\psi_{E_1}(x_1) \psi_{E_2}(x_2)...\psi_{E_N}(x_n) \right|\)化简得到：
\[\begin{equation} \begin{aligned} &i\hbar \frac{\partial C(E_1,E_2,...E_N,t)}{\partial t} \\\\ =& \sum_k (\sum_{W} C(E_1,E_2,...W,E_{k+1},..E_N,t)\left<\psi_{E_k}| T(x_k) |\psi_{W} \right>) \\\\ &+ \sum_i \sum_j (\sum_{W}\sum_{M} C(E_1,E_2,...M,E_{j+1},...W,E_{i+1},..E_N,t) \\\\ &\left<\psi_{E_i}\psi_{E_j}| V(x_i,x_j) |\psi_{W}\psi_{M} \right>) \end{aligned} \end{equation}\]
其中 \(k,i,j\) 等变量的取值代表第几个粒子，从1到粒子总数N的求和， 第二行中的求和的含义是当k取定后，\(W\) 代表对 \(E_k\) 的所有可能的取值 \(e1,e2,\dots\) 求和， 第三四行中的 \(WM\) 同理。
玻色子
假设共有\(M\)个粒子，假设有\(N\)个全同玻色子，为了便于分析，将同一种玻色子的编号编在前N位，其余的不同种的粒子放在后边。即，
\[ \psi(x_1,x_2,..x_N,x_{N+1},...x_{M},t) \]
\(x_1\)到\(x_n\)对应同种玻色子，后面为了方便，简写其后的\(x_{N+i}\)，记为\(\psi(x_1,x_2,..x_N,t)\)，由量子力学基本假设有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \psi(x_1,x_2,.x_i,...x_j..x_N,t) = \psi(x_1,x_2,..,x_j,...x_i...x_N,t) \end{aligned} \end{equation}\]
因为为同种粒子，则对应同一套本征能级，将波函数对应上方的展开方法展开之后，容易得到：
\[\forall \{E_1,E_2,...E_N\}, C(E_1,...E_i,..E_j,..E_N,t) =C(E_1,...E_j,..E_i,..E_N,t)\]
与上式条件完全等价。
举个例子，假设该种玻色子的本征态 \(E\) 可以取 \(0,1,2,3,..\)，当我取定其余粒子在某个本征态后，对于第 \(i\) 个 和第 \(j\) 个粒子，波函数在第 \(i\) 个粒子在5态，第j个粒子在4态的分量 \(C(E_1,...E_i=5,..E_j=4,..E_N,t)\)， 与波函数在第i个粒子在4态，第j个粒子在5态的分量 \(C(E_1,...E_i=4,..E_j=5,..E_N,t)\) 完全相同。
对展开系数进行变量代换，设\(n_i\)指第i个单体本征态上的粒子个数，则定义:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \bar C(n_1,n_2,...n_\infty,t) \equiv C(E_1,...E_i,..E_j,..E_N,t) \end{aligned} \end{equation}\]
其中变量 \(\{E_1,E_2,...E_N\}\) 满足有 \(n_1\) 个取值等于第一个单体本征值 \(e1\)， \(n_2\) 个取 \(e2\), 由前文的交换对称性可知，这个定义是well-defined的，交换任意的\(E_i,E_j\)所对应的\(C'\)都等于\(\bar C\)。
再定义:
\[\begin{equation} \begin{aligned} f(n_1,n_2,...n_\infty,t) &= (\frac{N!}{n_1!n_2!..n_\infty!})^{1/2}\bar C(n_1,n_2,...n_\infty,t) \\\\ \varphi_{n_1,n_2,...n_\infty}(x_1,x_2,...x_n) &= (\frac{n_1!n_2!..n_\infty!}{N!})^{1/2}\sum_{E_1,E_2,...E_N} \psi_{E_1}(x_1) \psi_{E_2}(x_2)...\psi_{E_N}(x_n) \end{aligned} \end{equation}\]
这里变换了求和的方式，第二行的求和号表示对所有满足 能级占据数的 \(n_1,n_2,...n_\infty\) 的 \(\{E_1,E_2...E_N\}\) 组合进行求和，实际上是将布居数相同的 态“打包”在了一起。
容易验证：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \psi(x_1,x_2,...x_N,t) = \sum_{n_1,n_2,n_3,...n_\infty} f(n_1,n_2,...n_\infty,t)\varphi_{n_1,n_2,...n_\infty}(x_1,x_2,...x_N) \end{aligned} \end{equation}\]
其中\(\sum_i n_i = N\)，\(\left<\varphi_{n_1,n_2,...n_\infty}|\varphi_{n_1,n_2,...n_\infty}\right> =1\)且\(\left|\varphi_{n_1,n_2,...n_\infty}\right>(x_1,x_2,...x_N)\)是一个满足交换对称性的波函数。
回到薛定谔方程，作为例子，对等号右边动能项进行改写，
\[\begin{equation} \begin{aligned} \sum_k \sum_{W} C(E_1,E_2,...W,E_{k+1},..E_N,t)\left<\psi_{E_k}| T(x_k) |\psi_{W} \right> \end{aligned} \end{equation}\]
给定 \(\{E_1,E_2,...E_N\}\) 之后，得到对应的 \(\{n_1,n_2,..n_\infty\}\)，则可以将\(C\)用\(\bar C\) 改写：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \sum_k \sum_{W} \bar C(n_1,n_2,.,n_{E_K}-1,..n_{W}+1,..n_\infty,t)\left<\psi_{E_k}| T(x_k) |\psi_{W} \right> \end{aligned} \end{equation}\]
在对所有粒子求和 \(\sum_{k=1}^{N}\) 的过程中，通过表达式可以看出，如果 \(E_{k1} = E_{k2}\) 则 \(k1\) 号粒子和 \(k2\) 号粒子的 求和项表达式\(\sum_{W} \bar C(n_1,n_2,.,n_{E_K}-1,..n_{W}+1,..n_\infty,t)\left<\psi_{E_k}| T(x_k) |\psi_{W} \right>\)完全一样，将所在能级一致的粒子放在一起求和，所以再次改写：
\[\begin{equation} \begin{aligned} &\sum_i^{\infty} \sum_{W} n_i \bar C(n_1,n_2,.,n_{i}-1,..n_{W}+1,..n_\infty,t)\left<\psi_{i}| T(x_k) |\psi_{W} \right> \\\\=&\sum_{M} \sum_{W} n_M \bar C(n_1,n_2,.,n_{M}-1,..n_{W}+1,..n_\infty,t)\left<\psi_{M}| T(x_k) |\psi_{W} \right> \end{aligned} \end{equation}\]
第一行代表将第一个对所有位置的求和变成了对所有能级求和， 而第二行只是换了个变量名，使得形式更对称。同理对势能也做同样的操作，具体形式很复杂，不再赘述。
粒子数表象及产生湮灭算符
我们将前文中定义的对称波函数
\[ \varphi_{n_1,n_2,...n_\infty}(x_1,x_2,...x_n) = (\frac{n_1!n_2!..n_\infty!}{N!})^{1/2}\sum_{E_1,E_2,...E_N} \psi_{E_1}(x_1) \psi_{E_2}(x_2)...\psi_{E_N}(x_n) \]
记作 \(\left|n_1 n_2,...n_\infty\right>\)，通过\(\psi_{E}(x)\)的正交性很容易得到：
\[ \left<n_1 n_2,...n_\infty |n_1' n_2',...n_\infty'\right> = \delta_{n_1,n_1'}\delta_{n_2,n_2'}.... \]
且这组基是完备的（未证明）。
引入粒子数升降算符 \(\hat b_i，\hat b^\dagger_i\)，\(i\) 代表对称波函数的 \(n_i\) 对应的能级，\([\hat b_i，\hat b^\dagger_i] = 1\) 而不同能级之间的升降算符相互对易。根据初量升降算符有性质\(\hat b_i\hat b^\dagger_i \left|n_1 n_2,...n_\infty\right> = n_i\)等。
同样的以动量作为例子，前文中推导得到的动能表达式为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} &\sum_{M} \sum_{W} n_M \bar C(n_1,n_2,.,n_{M}-1,..n_{W}+1,..n_\infty,t)\left<\psi_{M}| T(x_k) |\psi_{W} \right> \\\\&=\sum_{M} \sum_{W} n_M (\frac{n_1n_2...n_\infty!}{N!})^{\frac{1}{2}} (\frac{n_W+1}{n_M})^{\frac{1}{2}} f(n_1,n_2,...n_\infty) \left<\psi_{M}| T(x_k) |\psi_{W} \right> \end{aligned} \end{equation}\]
方程左侧： \[\begin{equation} \begin{aligned} = (\frac{n_1n_2...n_\infty!}{N!})^{\frac{1}{2}} i\hbar \frac{\partial f(n_1,n_2,...n_\infty)}{\partial t} \left|n_1 n_2,...n_\infty\right> \end{aligned} \end{equation}\]
综上，薛定谔方程改写为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} &i\hbar \frac{\partial f}{\partial t}\left|n_1 n_2,...n_\infty\right> = \\\\&=\sum_{M} \sum_{W} (n_W+1)^{1/2}(n_M)^{1/2} f(n_1,n_2,...n_\infty) \left<\psi_{M}| T(x_k) |\psi_{W} \right>\left|n_1 n_2,...n_\infty\right> + etc. \\\\&=\sum_{M} \sum_{W} b_{W}^\dagger b_{M} \left<\psi_{M}| T(x_k) |\psi_{W} \right>f(n_1,n_2,...n_\infty)\left|n_1 n_2,...n_\infty\right> + etc. \end{aligned} \end{equation}\]
势能也是同样的处理方式，所以实际上哈密顿量可以用升降算符表示为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \hat H = \sum_{M} \sum_{W} b_{W}^\dagger b_{M} \left<\psi_{M}| T(x_k) |\psi_{W} \right> + \sum_{i,j,k,l} b_{i}^\dagger b_{j}^\dagger\left< ij|V|kl \right> b_{k} b_{l} \end{aligned} \end{equation}\]
这种操作，将全同有质量的粒子的量子体系重新用升降算符来进行描述，将哈密顿量定义 在了一个抽象的粒子占据数表象下。动能势能和单体本征值的内积沟通了一次量子化后的哈 密顿量以及定义在抽象的粒子数表象空间中的多体哈密顿量。
费米子则可以用反对易的行列式：
\[ (\frac{n_1!n_2!..n_{\infty}!}{N!})^{1/2}\left( \begin{matrix}{l} \psi _{E_1}\left( x_1 \right)& \cdots& \psi _{E_1}\left( x_N \right)\\\\ \vdots& \ddots& \vdots\\\\ \psi _{E_N}\left( x_1 \right)& \cdots& \psi _{E_N}\left( x_N \right)\\\\ \end{matrix} \right) \]
作为粒子数表象所对应的波函数的表达式，同时\(\\{a_i,a_j^{\dagger}\\} = \delta_{i,j}\)反对易式作为升降算符的定义，可以得到一样的表达形式。