狄拉克方程

定义

首先假设波函数有四个分量，每个分量对应一个希尔伯特空间，定义其上的算符方便表示：

\[ \begin{aligned} \gamma^0=\left(\begin{matrix} I & 0 \\ 0 & -I \\ \end{matrix}\right) ~\vec{\gamma}=\left(\begin{matrix} 0 & \vec{\sigma} \\ -\vec{\sigma} & 0 \end{matrix}\right) \end{aligned} \]

\(I\) 和 \(\sigma\) 是二维空间上的泡利矩阵，此处只是简写，实际为4维矩阵。

狄拉克方程写作：

\[ \left(\gamma^0 \pi_0-\vec{\gamma} \cdot \vec{\pi}\right) \psi=m \psi \]

其中 \(\pi_0\) 是作用在二维旋量波函数上的常算符，\(\pi_i = i\nabla_i-eA_i\)，\(\nabla\) 是波函数空间的梯度算符，\(A\) 是失势算符。

\[ \begin{aligned} \left(\gamma^0 \pi_0-\vec{\gamma} \cdot \vec{\pi}\right) \psi & =\left(\begin{array}{cc} \pi_0 & -\vec{\sigma} \cdot \vec{\pi} \\ \vec{\sigma} \cdot \vec{\pi} & -\pi_0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \psi_a \\ \psi_b \end{array}\right) \\ & =m\left(\begin{array}{l} \psi_a \\ \psi_b \end{array}\right)=m \psi \end{aligned} \]

使用爱因斯坦求和约定 \(\mu:0,x,y,z\) 简写为：

\[ \left(\gamma^\mu \pi_\mu-m\right) \psi=0 . \]

常用的\(\gamma\)关系

\[ \gamma^{0 \dagger}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)=\gamma^0, \quad \vec{\gamma}^{\dagger}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -\vec{\sigma} \\ \vec{\sigma} & 0 \end{array}\right)=-\vec{\gamma} \]

\[ \left(\gamma^0\right)^2=\left(\begin{array}{cc} 1^2 & 0 \\ 0 & (-1)^2 \end{array}\right)=1, \quad\left(\gamma^i\right)^2=\left(\begin{array}{cc} -\sigma_i^2 & 0 \\ 0 & -\sigma_i^2 \end{array}\right)=-1 . \]

同时任意两个 \(\gamma_i\) 之间反对易：

\[ \begin{aligned} & \gamma^0 \gamma^i+\gamma^i \gamma^0=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 0 & -\sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{array}\right)=0 \\ & \gamma^i \gamma^j+\gamma^j \gamma^i=\left(\begin{array}{cc} -\sigma_i \sigma_j-\sigma_j \sigma_i & 0 \\ 0 & -\sigma_i \sigma_j-\sigma_j \sigma_i \end{array}\right)=0 \text { if } i \neq j \end{aligned} \]

如果度规张量为 \(\eta\) ，刚好满足关系：

\[ \gamma^\mu \gamma^\nu+\gamma^\nu \gamma^\mu=2 \eta^{\mu \nu} \] where \[ \eta^{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \]