8.微分形式
定义
假设\((0,l)\)型张量满足$w_{a_1a_2...a_l}
=w_{[a_1a_2...a_l]} \(，则称该张量为\)l$次形式。
由抽象指标和具体指标可相互代换容易得到在某个基底下的展开系数：
\[
w_{\mu_1\mu_2...\mu_l} =w_{[\mu_1\mu_2,...\mu_l]}
\]
于是简单得到任何坐标系下，\(w_{221}\)等这种分量角
7.超曲面
定义
当一个流形\(S\)，通过一个单射的无穷阶可导的映射\(\phi\)映射到流形\(M\)上，\(dimS \le
dim M\)，且该映射\(\phi\)的推前映射非退化（\(\phi_* v^a = 0\Rightarrow v^a =
0\)）,则称\(\phi[S]\)是一个嵌入子流形，如果\(dim(S) = dim(M)-1\)，则称为超曲面。
超曲面上的矢量：
theo
6.killing场
killing场和超曲面
killing场定义：
假设流形\((M,g_{ab})\)上\(v\)矢量场对应的单参微分同胚映射是保度规映射，既\(\phi_t^* g_{ab} = g_{ab}\)，则称\(v\)为killing场
theorem1:
\(v\)是killing场等价于\(g_{ab}\)关于\(v\)的李导数等于0等价于killing方程：
\[
\nabla_av
内积空间
内积空间
定义：
在线性空间的基础上定义了内积运算的空间，内积运算需满足以下性质：
\[\begin{aligned}
&\left<u,u \right> \ge 0
\\\\&\left<u_1+u_2,v \right> = \left<u_1,v \right> +
\left<u_2,v \right>
\\\
5.推前拉回映射和李导数
拉回和推前映射
假设 \(\phi\) 是从流形\(M\)映射到流形\(N\)的映射，则拉回映射\(\phi^*:\mathscr{F}_N \rightarrow
\mathscr{F}_M\) 定义为:
\(\phi^*
(f)\mid _p = f(\phi(p))\)
\(p\)是流形\(M\)上的点，\(f\)是流形\(N\)上的标量场，有了拉回映射后，可以定义推前映射：
线性空间
Vector Space
1.1 vector space
A vector space is a set (denoted by \(V\)) along with an addition and a scalar
multiplication satisfying the following properties.
\[\begin{aligned}
\forall &u
绝热定理及贝瑞相
绝热定理
当量子态开始绝热演化时，展开系数写为\(\psi(0)=\sum_{n}c_n\varphi_n(0)\), 则 \(t\) 时刻的量子态写为：
\[
\psi(t) = \sum_nc_n \varphi_n(t)e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}
\]
\(\varphi_n(t)\)是哈密顿量在 \(t\) 时刻的第n个本征态，
\(\theta_n